Quando a Matemática discorda da Física

  

 Alguém uma vez me fez essa pergunta – quando a Matemática discorda da Física? Uma das respostas seria é quando algo não pode ser medido, por exemplo, no amor, amizade e afetos é impossível medir. Então, sabemos que até na Matemática há o que não se pode medir.

 Mas poderíamos dizer que volume, temperatura e comprimento se medem. Você me dá uma bola maciça de ouro e eu entro com ela no meu laboratório secreto. Depois de alguns minutos, saio com duas bolas aparentemente idênticas à que você me deu.

Você pergunta de onde tirei a segunda bola. Digo que fiz as duas bolas a partir daquela com que entrei. Tudo que fiz foi cortar a bola original em alguns pedaços e colá-los de maneira diferente, sem tirar, botar, ou deformar qualquer coisa.

 -- Mas como assim? – Você pergunta. – Não tem como você fazer duas bolas a partir de uma! Você ia precisar do dobro.

Você toma as bolas e as examina com todo cuidado. Constata que as duas são maciças e de ouro, com a mesma densidade que a original. Seu exame não revela qualquer problema, apenas rachaduras correspondendo aos cortes que eu disse ter feito. Você entra em meu laboratório e constata que não há qualquer sinal de fraude da minha parte. O que pode ter acontecido?

A Física declara categoricamente que esta historinha é impossível. Acontece que, de certa forma, a Matemática discorda da Física. No mundo matemático, essa “criação de matéria” pode acontecer, mas há sutilezas por trás dela. Para entendê-las, vamos começar de outro ponto: o que significa medir para um matemático?

A Teoria da Medida

Na virada do século 19 para o 20, ficou claro para os matemáticos que o Cálculo de Newton, Leibniz e seus sucessores precisava ser recauchutado. Era necessário torná-lo mais preciso e expandir suas capacidades.

Dentro do Cálculo, o conceito de integral é um dos mais importantes. Acontece que a integral é “a área ou volume debaixo do gráfico da função”. Por isso, para melhorar a integral, foi necessário criar uma nova Teoria da Medida e refundamentar conceitos como comprimento, área e volume. Henri Lebesgue foi o principal matemático por trás deste avanço.

A Teoria da Medida de Lebesgue é complicada, mas tem a ver com nossa noção de medida do dia-a-dia. Como no senso comum, começamos com a constatação de que, para medir, precisamos de um padrão. Por exemplo, o padrão costumeiro para medir volumes – a unidade do litro – é o volume de um cubo com lados de dez centímetros. Do mesmo modo, para definir volumes, Lebesgue parte de um cubo-padrão, considerado a “unidade de volume”.

Em segundo lugar, medir é sempre comparar com o padrão. Por exemplo, se eu digo que um balde tem três litros de volume, é porque o volume do balde corresponde ao de três cubos-padrão. Da mesma forma, os volumes na teoria de Lebesgue são calculados a partir do cubo-padrão.

Um terceiro ponto é que a medida de um objeto não muda quando o mexemos ou deslocamos. Se eu tomo o balde acima, o levo pro Japão e o viro de cabeça para baixo, ele continua tendo os mesmos três litros de volume – a não ser, é claro, que ele saia deformado da minha brincadeira. De forma análoga, a medida de volume segundo Lebesgue não se altera quando um corpo é deslocado no espaço.

A última propriedade importante é que quando um objeto é feito de duas ou mais partes, a soma das medidas das partes é a medida do todo. É mais fácil explicar este princípio com a figura abaixo. Nela, o cubo maior é feito de partes, que são cubos menores. Nossa regra é que a soma dos volumes dos cubinhos tem de ser o volume do cubo maior. Em particular, segue disso que, quando um cubo maior tem o dobro do tamanho de lado de um menor, o volume do maior é oito vezes o do menor. Você consegue deduzir isso?

As propriedades acima, na roupagem técnica correta, descrevem a teoria de Lebesgue para volumes. Ele tomou estes princípios como “axiomas”, ou seja, como “verdades básicas” a partir da qual todas as outras “verdades” devem ser deduzidas na forma de teorema. Uma vantagem deste método é a precisão: o que vale ou não fazer no Cálculo passa a ser uma questão de Lógica e deduções. A outra vantagem é que a teoria de Lebesgue leva a uma versão melhor e mais flexível do Cálculo de integrais. Apesar disso, a teoria de Lebesgue tem seus próprios mistérios.

O “paradoxo” de Banach-Tarski

Quando aceitamos axiomas, temos de ir com eles até o fim e aceitar suas consequências mais estranhas.

Uma destas consequências é a seguinte: a teoria de Lebesgue tem de admitir a existência conjuntos imensuráveis. Ou seja, há conjuntos dentro do espaço de três dimensões que não se adequam à noção de volume. Não estou dizendo que estes conjuntos têm volume 0, ou infinito, ou algum número estranho. O que acontece é que simplesmente não faz sentido aplicar a teoria de Lebesgue a estes conjuntos. 

Na verdade, estes conjuntos estão escondidos na bola de ouro que virou duas. Aquela historinha corresponde a um enigmático teorema dos matemáticos Stefan Banach e Alfred Tarski.

  

Teorema Banach/Tarski

 

É possível dividir uma bola maciça em três dimensões em um número finito de partes e deslocar cada uma destas partes sem deformá-las, de modo que a figura final obtida consista exatamente de duas bolas maciças disjuntas e idênticas à original. 

Por que isto tem a ver com a teoria de Lebesgue? O que veremos a seguir é que pelo menos uma das partes produzidas por Banach e Tarski tem de ser imensurável. Afinal, se isso não fosse verdade, poderíamos aplicar a teoria de Lebesgue para deduzir que:

Volume da bola original = soma dos volumes das partes.

Ao mesmo tempo, as duas bolas posteriores são feitas destas mesmas partes, que foram deslocadas mas não deformadas. Deste modo, deduziríamos da teoria que:

Volume das duas bolas = somas do volumes das partes.

Portanto, chegaríamos à igualdade:

Volume da bola = Volume das duas bolas,

mas isto é absurdo. Afinal, as duas bolas são idênticas à primeira e disjuntas, logo o volume somado das duas é o dobro do volume de uma só. Ou seja, mostramos por uma redução ao absurdo que, se todas as partes da bola estivessem sujeitas a teoria da Medida, isso levaria a uma consequência falsa. Isso invalida nossa premissa e mostra que alguma parte da bola tem de ser imensurável, como afirmei acima.

O resultado de Banach e Tarski é às vezes chamado de “paradoxo de Banach e Tarski”, mas não há nada de errado com ele. O ponto é que a divisão em partes da bola é puramente teórica e jamais poderia ocorrer no mundo físico. De fato, qualquer conjunto gerado por um processo físico é mensurável.

Se o “paradoxo” não se manifesta no mudo real, por que ele importa? O ponto é que, além de precisão, a Matemática precisa de profundidade. Reiterando o que disse acima, uma vez que escolhemos os axiomas para nossa teoria, é preciso aceitá-los e explorá-los até as últimas consequências. Só assim sabemos o poder e os limites da nossa teoria. Assim como há físicos dispostos a explorar as minúcias da Natureza, devem existir matemáticos querendo explorar as profundezas dos conceitos. Até porque precisamos dos conceitos para entender a realidade.

No fim das contas, até na Matemática há o que não se pode medir. Alguém poderia dizer que volume, temperatura e comprimento se medem, mas amor, amizade e afetos, não. Ocorre que o imensurável não é privilégio do universo caloroso dos sentimentos: ele também dá suas caras no mundo austero das formas e quantidades.

 Valdivino Sousa

Contador, Matemático, Pedagogo, Psicanalista, Bacharel em Direito, Escritor e Mestrado em Ciências da Educação Matemática. Criador do método X Y Z que facilita na aprendizagem de equação e expressão algébrica com objetos ilustrativos. Docente nos cursos de Matemática, Ciências Contábeis, Administração e Engenharia. Autor de mais de 10 (dez) livros e têm vários artigos publicados em revistas e jornais especializados. Blogueiro Mtb 60.448, Consultor e Estrategista de Mídias Digitais. Semanalmente escreve para o portal D.Dez, Jornal Sudoeste e Folha Online. Sobre: Comportamento, Educação Matemática e Desenvolvimento da Aprendizagem. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Equações Diferenciais Parciais, Matemática Computacional e Engenharia Didática, atuando principalmente nos seguintes temas: métodos numéricos, equações diferenciais, modelagem, simulações e didática no ensino de matemática. Acesse o site: www.matematicosousa.com.br E-Mail: valdivinosousa.mat@gmail.com Whatsap: 11 – 9.9608-3728 SAIBA MAIS