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A Matemática do Cérebro, estamos falando de Jefferson Antonio Galves ele é Matemático, Professor Titular da Universidade de
S.Paulo e coordenador do Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em
Neuromatemática (CEPID NeuroMat), financiado pela FAPESP.
Para começo de conversa: o que a Matemática
tem a ver com a Biologia do Cérebro?
A resposta parte de uma constatação: a Biologia não dispõe atualmente de um quadro conceitual para formular rigorosamente os fenômenos associados ao funcionamento do cérebro observados experimentalmente.
A resposta parte de uma constatação: a Biologia não dispõe atualmente de um quadro conceitual para formular rigorosamente os fenômenos associados ao funcionamento do cérebro observados experimentalmente.
Meu artigo mal começou e já posso ouvir gritos de
indignação vindos de meus prezados colegas neurobiólogos.
Como assim, a Biologia não dispõe de um quadro
conceitual para estudar o funcionamento do Cérebro?! Esse é uma típica
afirmação arrogante de matemático que acha que fora da Matemática não há
esperança científica! Do que estamos falando?
Um exemplo ajudará a entender a que me refiro
e levar a discussão com os biólogos a um nível menos exaltado.
Vou lhes apresentar um protocolo experimental
envolvendo eletro-encefalografia que é uma maneira não invasiva das mais
simples para estudar o funcionamento do Cérebro.
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| O Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática (CEPID NeuroMat), financiado pela FAPESP | uan Ojea |
Um protocolo experimental
O protocolo experimental consiste em exibir dois
filmes a espectadores voluntários.
O primeiro filme mostra um ser humano caminhando. Para evitar que detalhes referentes à aparência física do caminhante atraiam a atenção dos espectadores, a imagem é limitada a um conjunto de marcadores luminosos, indicando os pontos de articulação dos braços, pernas, mãos, pés e cabeça do caminhante. O caminhante é filmado andando sobre um tapete rolante, de forma que sua imagem esteja sempre no centro da tela.
O segundo filme mostra exatamente a mesma sequência de imagens, mas com os pontos "embaralhados" na tela. Assim, por exemplo, os pontos correspondendo ao braço direito aparecem na posição correspondente à cabeça, a cabeça é deslocada para a posição do pé, etc. Esse "embaralhamento" dos pontos torna o segundo filme totalmente incompreensível para o espectador.
O primeiro filme mostra um ser humano caminhando. Para evitar que detalhes referentes à aparência física do caminhante atraiam a atenção dos espectadores, a imagem é limitada a um conjunto de marcadores luminosos, indicando os pontos de articulação dos braços, pernas, mãos, pés e cabeça do caminhante. O caminhante é filmado andando sobre um tapete rolante, de forma que sua imagem esteja sempre no centro da tela.
O segundo filme mostra exatamente a mesma sequência de imagens, mas com os pontos "embaralhados" na tela. Assim, por exemplo, os pontos correspondendo ao braço direito aparecem na posição correspondente à cabeça, a cabeça é deslocada para a posição do pé, etc. Esse "embaralhamento" dos pontos torna o segundo filme totalmente incompreensível para o espectador.
Enquanto no primeiro filme o conjunto de pontos
mostra claramente a marcha de um caminhante, no segundo filme o
sentimento é de estranheza, sem que nenhum sentido possa ser dado à sucessão de
imagens assistidas.
É natural conjecturar que o reconhecimento imediato da imagem de um caminhante no primeiro filme, em oposição ao estranhamento diante da sequência de imagens embaralhadas, levem o cérebro de um espectador a dois funcionamentos totalmente distintos diante dos dois filmes. Reconhecer um movimento familiar deveria exigir do cérebro do espectador uma atividade muito diferente daquela exigida pelo segundo filme, no qual ele é obrigado a fazer, sem sucesso, um esforço para dar um sentido à sucessão incompreensível de imagens observadas.
É natural conjecturar que o reconhecimento imediato da imagem de um caminhante no primeiro filme, em oposição ao estranhamento diante da sequência de imagens embaralhadas, levem o cérebro de um espectador a dois funcionamentos totalmente distintos diante dos dois filmes. Reconhecer um movimento familiar deveria exigir do cérebro do espectador uma atividade muito diferente daquela exigida pelo segundo filme, no qual ele é obrigado a fazer, sem sucesso, um esforço para dar um sentido à sucessão incompreensível de imagens observadas.
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| Fotogramas sucessivos do filme mostrando o caminhante, indicado por marcas luminosas indicando os pontos de articulação do seu corpo | Fraimanm et al. (2014) |
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| Fotogramas sucessivos do filme com os pontos de articulação embaralhados | Fraimanm et al. (2014) |
Buscando traços característicos
Será possível caracterizar de maneira precisa os
traços distintivos do funcionamento do cérebro de um espectador diante dos dois
filmes?
Para tentar responder a essa pergunta, registros eletro-encefalográficos são feitos com os diversos voluntários enquanto eles assistem aos dois filmes.
A questão básica é se podemos identificar nos registros eletro-encefalográficos os traços que caracterizam as diferenças no funcionamento do cérebro do espectador diante de filmes tão distintos.
Para tentar responder a essa pergunta, registros eletro-encefalográficos são feitos com os diversos voluntários enquanto eles assistem aos dois filmes.
A questão básica é se podemos identificar nos registros eletro-encefalográficos os traços que caracterizam as diferenças no funcionamento do cérebro do espectador diante de filmes tão distintos.
Os traços característicos que procuramos não saltam
aos olhos, quando examinamos pela primeira vez os registros
eletro-encefalográficos. Estamos diante de "desenhos", descrevendo a
atividade de populações de neurônios e esses desenhos parecem variar
desordenadamente ao longo do tempo. Pior ainda, os registros feitos em dois
espectadores diferentes assistindo ao mesmo filme parecem ser à primeira vista
totalmente diferentes. Muito pior ainda, registros feitos em duas ocasiões
diferentes com o mesmo espectador assistindo ao mesmo filme parecem ser
totalmente diferentes!
Como achar algum traço característico nesses registros tão variáveis?! Como encontrar regularidades nessa desordem aparente?
É essa a questão discutir no próximo texto.
Como achar algum traço característico nesses registros tão variáveis?! Como encontrar regularidades nessa desordem aparente?
É essa a questão discutir no próximo texto.
O que nos diz Gromov.
Antes de responder, é oportuno citar uma frase dita
pelo grande matemático Mikhail Gromov. Ele disse que a tarefa da
Matemática e dos matemáticos era encontrar regularidades que não eram
perceptíveis a olho nu. Cito sua frase de memória, traduzindo-a de maneira
livre do inglês.
Seguindo a injunção de Gromov, podemos nos
perguntar como a Matemática pode nos ajudar a encontrar regularidades nesses
desenhos representando os registros eletro-encefalográficos.
Correlações e gratos.
Uma primeira ideia é descrever como os sinais
registrados em cada par de eletrodos estão correlacionados entre si. A intuição
por trás dessa ideia é a seguinte. Podemos conjecturar que algo que distingue o
funcionamento do cérebro diante dos dois filmes é o conjunto de regiões
envolvidas no processamento da sequência de imagens. Talvez a compreensão
de cada um dos dois filmes exija do espectador a utilização simultâneo de
regiões diferentes do cérebro. Essa informação sobre a utilização simultânea de
regiões distintas poderá talvez ser recuperada se estudarmos como os sinais
registrados pelos diversos eletrodos se correlacionam.
A noção de correlação é uma noção matemática
simples e que pode ser explicada informalmente. Faremos isso utilizando um
exemplo futebolístico.
Suponhamos que estamos observando os espectadores de uma partida de futebol. Se olharmos dois torcedores do mesmo time, veremos que eles tem reações muito semelhantes no decorrer da partida. Quando um deles grita feliz: Gol!, o outro também grita: Gol! E entendemos que ambos estão reagindo a um gol da equipe pela qual ambos torcem. Quando um deles faz um gesto de desânimo, ou de irritação, o outro também fará esse gesto, e entenderemos que a equipe de ambos perdeu uma boa ocasião de gol. Em termos técnicos, diremos que os registros dos comportamentos dos dois torcedores do mesmo tipo são positivamente correlacionados.
Suponhamos que estamos observando os espectadores de uma partida de futebol. Se olharmos dois torcedores do mesmo time, veremos que eles tem reações muito semelhantes no decorrer da partida. Quando um deles grita feliz: Gol!, o outro também grita: Gol! E entendemos que ambos estão reagindo a um gol da equipe pela qual ambos torcem. Quando um deles faz um gesto de desânimo, ou de irritação, o outro também fará esse gesto, e entenderemos que a equipe de ambos perdeu uma boa ocasião de gol. Em termos técnicos, diremos que os registros dos comportamentos dos dois torcedores do mesmo tipo são positivamente correlacionados.
É claro também que as evoluções dos comportamentos
de dois torcedores de times diferentes são negativamente correlacionadas. Um
gol de um time é festejado por seus torcedores, ao mesmo tempo em que é
lamentado pelos torcedores do outro time.
Há também o caso de um espectador que não ama o
futebol, não tem interesse pelo jogo que está se desenrolando e está no estádio
por razões não futebolísticas, por exemplo acompanhando a namorada que é
torcedora fanática de um dos dois times. Esse espectador desinteressado tenderá
a se aborrecer e se comportará de uma forma que nada tem a ver com o desenrolar
da partida. O comportamento desse espectador desinteressado não é
correlacionado nem positiva, nem negativamente com o comportamento de um
torcedor de um dos dois times que estão em campo.
Correlação entre pares de registros
eletro-encefalográficos.
Vamos agora aplicar essa mesma noção de correlação
para estudar as evoluções dos sinais eletro-encefalográficos registrados
em pares de eletrodos.
Um registro eletro-encefalográfico descreve a evolução da atividade cerebral ao longo do tempo em uma determinada região do cérebro. Esse registro indica momentos de atividade mais intensa e outros de atividade menos marcada. Os sinais registrados em dois eletrodos são correlacionados se a intensidade da atividade registrada num deles em determinado intervalo de tempo der uma indicação sobre a atividade registrada no outro eletrodo. Em particular, as atividades são "positivamente correlacionadas", se as atividades registradas nos dois tem períodos de intensa atividade ao mesmo tempo. Exatamente como ocorre com as evoluções dos comportamentos de dois torcedores do mesmo time assistindo uma partida.
Um registro eletro-encefalográfico descreve a evolução da atividade cerebral ao longo do tempo em uma determinada região do cérebro. Esse registro indica momentos de atividade mais intensa e outros de atividade menos marcada. Os sinais registrados em dois eletrodos são correlacionados se a intensidade da atividade registrada num deles em determinado intervalo de tempo der uma indicação sobre a atividade registrada no outro eletrodo. Em particular, as atividades são "positivamente correlacionadas", se as atividades registradas nos dois tem períodos de intensa atividade ao mesmo tempo. Exatamente como ocorre com as evoluções dos comportamentos de dois torcedores do mesmo time assistindo uma partida.
Os sinais registrados em dois eletrodos são
"negativamente correlacionados", se, ao contrário, períodos de
atividade intensa registrado num eletrodo coincidem com períodos de baixa
atividade no sinal registrado no outro eletrodo. Exatamente como ocorre, quando
seguimos as reações simultâneas de torcedores de times opostos.
Finalmente há pares de eletrodos cujos sinais,
registrados durante a exibição dos filmes, não são nem positivamente, nem
negativamente correlacionados. Em outras palavras, os sinais registrados nos
dois eletrodos sugerem que estamos diante de atividades neuronais
independentes. Exatamente como ocorre quando comparamos os comportamentos de um
torcedor e o de um espectador que foi ao estádio por razões não futebolísticas,
sem estar interessado na partida em curso.
A estatística que nos permite "estimar" a
correlação entre duas evoluções nos dará um número real, positivo se correlação
for positiva, ou negativo, se ela for negativa. Vamos aplicar essa fórmula,
essa "estatística", aos sinais registrados enquanto os espectadores
voluntários assistiam os dois filmes.
As noções de correlação de Pearson e Spearman.
As noções de correlação de Pearson e Spearman.
Este texto não é o local adequado para apresentar
definições formais e fórmulas matemáticas. Em qualquer texto básico de
Estatística ou na Wikipédia, o leitor interessado poderá facilmente encontrar a
fórmula para calcular o "coeficiente de correlação de Pearson" que
foi quem introduziu essa noção no início do século XX. Poderá também encontrar
a noção associada de "coeficiente de correlação de Spearman"
que foi a medida efetivamente usada no trabalho científico que estou
descrevendo informalmente neste texto.
Uma representação gráfica.
Uma representação gráfica.
Vamos representar graficamente o sistema de pares
de eletrodos, indicando os pares que registraram evoluções correlacionadas,
positiva ou negativamente, e os pares que registraram atividades não
correlacionadas.
Para fazer essa representação gráfica será preciso
fixar um limiar, um valor de corte. Diremos que dois eletrodos são
correlacionados em um certo intervalo de tempo se o valor absoluto da
correlação medida empiricamente naquele intervalo de tempo for maior do
que o valor do ponto de corte. Alternativamente diremos que eles não são
correlacionados naquele intervalo de tempo, se valor absoluto da
correlação medida empiricamente for menor do que o ponto de corte.
A representação que obtivemos assim é o que se
chama de Grafo. Um grafo é um objeto matemático. Ele é formado por um
conjunto de vértices e por um conjunto de arestas. As arestas são indicadas por
suas extremidades que são dois vértices distintos.
No nosso caso, os vértices correspondem ao conjunto
de eletrodos e as arestas indicarão os pares de eletrodos que registraram
sinais correlacionados durante o intervalo de tempo que consideramos. Faremos
isso recortando o intervalo total da experiência em intervalos sucessivos de
mesmo comprimento, medindo a correlação entre os sinais registrados em cada
para de eletrodos naquele intervalo de tempo e finalmente desenhando um grafo
para cada um dos intervalos, indicando os pares de eletrodos cujos registros
tem uma correlação cujo valor absoluto é superior ao valor do ponto de corte.
Um olhar sintético sobre os registros eletro-encefalográficos.
Um olhar sintético sobre os registros eletro-encefalográficos.
Essa representação matemática nos permite ter um
olhar sintético sobre o conjunto total de registros
eletro-encefalográfico. Temos agora diante dos olhos uma sequência de
grafos, indicando como evoluem os pares de eletrodos correlacionados durante a
experiência.. Essa representação é muito mais simples do que os desenhos
originais. E de fato essa representação resumida na forma de uma sequência de
grafos permitiu identificar uma importante diferença nos registros feitos
enquanto o espectador assiste o filme de um caminhante, ou o filme de imagens
embaralhadas.
Em que as duas sequências de grafos diferem.
A diferença encontrada é a seguinte. Um dos
vértices dos grafos estimados nos sucessivos intervalos de tempo
recebeu sistematicamente mais arestas durante a exibição do filme com as
imagens embaralhadas, em comparação com o filme com as imagens normais. Esse
comportamento distintivo foi registrado no vértice correspondente ao eletrodo
F7 situado na região pré-frontal.
Em outras experiências, o eletrodo F7 já tinha sido identificado como associado a uma atividade de reconhecimento de imagens animadas "naturais", imagens de animais, imagens de homens. Assim, o resultado descrito acima de alguma forma "corrobora" resultados anteriores, identificando a região registrada pelo eletrodo F7 como aquela que tenta atribuir um sentido à sucessão incompreensível de imagens embaralhadas. Imagens embaralhadas às quais o espectador não consegue atribuir um sentido "natural". Como se a dificuldade em atribuir um sentido "natural" às imagens do filme embaralhado exigisse do cérebro uma atuação intensa, envolvendo simultaneamente a região registrada pelo eletrodo F7 e diversas outras regiões do cérebro. É essa atuação simultânea que faz com que o eletrodo F7 apareça com mais arestas no caso do filme embaralhado, do que no filme com imagens rotineiras de um caminhante.
Em outras experiências, o eletrodo F7 já tinha sido identificado como associado a uma atividade de reconhecimento de imagens animadas "naturais", imagens de animais, imagens de homens. Assim, o resultado descrito acima de alguma forma "corrobora" resultados anteriores, identificando a região registrada pelo eletrodo F7 como aquela que tenta atribuir um sentido à sucessão incompreensível de imagens embaralhadas. Imagens embaralhadas às quais o espectador não consegue atribuir um sentido "natural". Como se a dificuldade em atribuir um sentido "natural" às imagens do filme embaralhado exigisse do cérebro uma atuação intensa, envolvendo simultaneamente a região registrada pelo eletrodo F7 e diversas outras regiões do cérebro. É essa atuação simultânea que faz com que o eletrodo F7 apareça com mais arestas no caso do filme embaralhado, do que no filme com imagens rotineiras de um caminhante.
Uma pequena brincadeira com os grafos ajudará
talvez a entender o que talvez está ocorrendo. Tudo se passa como se no esforço
para entender as imagens embaralhadas a região registrada pelo eletrodo F7
tivesse que perguntar a diversas outras regiões, se elas estavam entendendo o
que se via no filme.
-O que é isso, o que é isso?! Vocês entendem essas imagens estranhas?
-O que é isso, o que é isso?! Vocês entendem essas imagens estranhas?
perguntaria a região do eletrodo F7 às outras.
Esse diálogo imaginário entre regiões do cérebro é
naturalmente só uma brincadeira que faço para tentar explicar a intuição dos
pesquisadores em relação à diferença encontrada nos grafos. O fato é que a
visão de um filme com imagens embaralhadas se traduziu nos registros
eletro-encefalográficos por um comportamento envolvendo simultaneamente mais
regiões do cérebro.
Novos protestos dos neurobiólogos.
Novos protestos dos neurobiólogos.
Neste momento, um coro de estimados colegas neurobiólogos
retoma com satisfação a polêmica iniciada nas primeiras linhas deste texto.
- O trabalho relatado informalmente nas linhas acima, mostra bem que neurobiólogos conseguem muito bem lidar com questões complexas de funcionamento do cérebro, sem precisar esperar que matemáticos desçam do Olimpo com novos objetos matemáticos.
- O trabalho relatado informalmente nas linhas acima, mostra bem que neurobiólogos conseguem muito bem lidar com questões complexas de funcionamento do cérebro, sem precisar esperar que matemáticos desçam do Olimpo com novos objetos matemáticos.
Continuam meus amigos neurobiólogos:
-É evidente que nesse artigo são usadas noções
matemáticas ou estatísticas, mas todas elas já fazem parte do saber comum de
todo cientista bem formado. Por exemplo, os coeficientes de correlação de
Pearson e Spearman foram introduzidos há mais de 100 anos atrás. A noção de
grafo aleatório foi introduzida por Gilbert, Erdös e Rényi há mais
de 50 anos atrás. Essas são ferramentas que todos os neurobiólogos já dominam e
utilizam correntemente. Nós não vemos ainda onde está essa necessidade de criar
novos objetos matemático defendida com ardor no presente artigo.
E agora, como responder a essa objeção?
A necessidade de novos objetos matemáticos.
A resposta é simples. Voltemos ao trabalho que
relatei informalmente nas linhas acima. Esse trabalho identifica brilhantemente
uma diferença entre os grafos registrados durante a exibição dos dois filmes.
Esse resultado mostra sem nenhuma dúvida que uma equipe de neurobiólogos de
alto nível consegue extrair um máximo de informações dos dados experimentais,
utilizando ferramentas já acessíveis. Nisso tem razão o coro dos neurobiólogos.
No entanto, o final feliz obtido nesse belo artigo não é realmente o final da história. Só estamos vendo a ponta do iceberg. Os dados ainda tem uma imensa quantidade de informações a revelar. Vou explicar-lhes a que me refiro.
É natural conjecturar que as sequências de grafos registradas com diversos espectadores que assistiam o filme mostrando um caminhante apesar de sua aparente diversidade, têm todas características comuns que as distinguem das sequências registradas com espectadores assistindo o filme de imagens embaralhadas. No entanto, na estado atual da pesquisa nós não sabemos quais essas características comuns distintivas entre as sequências de grafos registradas com cada um dos filmes.
No entanto, o final feliz obtido nesse belo artigo não é realmente o final da história. Só estamos vendo a ponta do iceberg. Os dados ainda tem uma imensa quantidade de informações a revelar. Vou explicar-lhes a que me refiro.
É natural conjecturar que as sequências de grafos registradas com diversos espectadores que assistiam o filme mostrando um caminhante apesar de sua aparente diversidade, têm todas características comuns que as distinguem das sequências registradas com espectadores assistindo o filme de imagens embaralhadas. No entanto, na estado atual da pesquisa nós não sabemos quais essas características comuns distintivas entre as sequências de grafos registradas com cada um dos filmes.
O fato e que não existe atualmente um quadro
conceitual que nos permita formular precisamente essa questão. No entanto, o
caminho que devemos seguir para criar esse novo quadro conceitual é claro. Vou
esboçá-lo a seguir.
Modelando evoluções aleatórias.
Modelando evoluções aleatórias.
Para início de conversa, precisamos definir uma
classe de modelos matemáticos descrevendo evoluções aleatórias assumindo valores
no espaço dos grafos. A noção de evolução aleatória é clássica no sub-domínio
da Matemática chamado Teoria das Probabilidades. Evoluções aleatórias são
modeladas por objetos matemáticos chamados Processos Estocásticos.
Um dos primeiros Processos Estocásticos estudados do ponto de vista matemático descrevia o movimento de um grão de polem numa gota de água observada através de um microscópio. Esse Processo Estocástico recebeu o nome de Movimento Browniano, em honra ao botânico Robert Brown que em 1827 fez a primeira descrição de algumas das características visíveis do movimento do grão de polem. Por exemplo, ele observou que o grão de polem se movimentava continuamente e que sua trajetória "mudava de direção" a cada passo. Em 1905 o físico Albert Einstein propôs uma fórmula precisa para a distribuição de probabilidade governando o deslocamento no espaço do grão de polem após um certo intervalo de tempo. Finalmente em 1923 o matemático construiu de forma rigorosa um objeto matemático tendo as a características descritas por Brown e tendo a distribuição de probabilidade indicada por Einstein. E esse é um dos pontos de partida da moderna Teoria de Probabilidades, talvez o ramo mais dinâmico da Matemática atual.
Precisamos atualmente definir uma nova classe de Processos Estocásticos capaz de representar as sequências observadas de grafos a partir dos registros eletro-encefalográficos feitos enquanto os espectadores assistem aos dois filmes. Esse é o primeiro ponto do caminho que devemos seguir.
O segundo ponto é encontrar critérios estatísticos capazes de identificar nessa nova classe de Processos Estocásticos aqueles que com maior economia melhor se ajustam aos dados. Esse é o plano de trabalho que teremos que seguir para continuar o trabalho de pesquisa descrito acima, elevando-o a um outro patamar.
Um dos primeiros Processos Estocásticos estudados do ponto de vista matemático descrevia o movimento de um grão de polem numa gota de água observada através de um microscópio. Esse Processo Estocástico recebeu o nome de Movimento Browniano, em honra ao botânico Robert Brown que em 1827 fez a primeira descrição de algumas das características visíveis do movimento do grão de polem. Por exemplo, ele observou que o grão de polem se movimentava continuamente e que sua trajetória "mudava de direção" a cada passo. Em 1905 o físico Albert Einstein propôs uma fórmula precisa para a distribuição de probabilidade governando o deslocamento no espaço do grão de polem após um certo intervalo de tempo. Finalmente em 1923 o matemático construiu de forma rigorosa um objeto matemático tendo as a características descritas por Brown e tendo a distribuição de probabilidade indicada por Einstein. E esse é um dos pontos de partida da moderna Teoria de Probabilidades, talvez o ramo mais dinâmico da Matemática atual.
Precisamos atualmente definir uma nova classe de Processos Estocásticos capaz de representar as sequências observadas de grafos a partir dos registros eletro-encefalográficos feitos enquanto os espectadores assistem aos dois filmes. Esse é o primeiro ponto do caminho que devemos seguir.
O segundo ponto é encontrar critérios estatísticos capazes de identificar nessa nova classe de Processos Estocásticos aqueles que com maior economia melhor se ajustam aos dados. Esse é o plano de trabalho que teremos que seguir para continuar o trabalho de pesquisa descrito acima, elevando-o a um outro patamar.
Notas:
- O trabalho descrito acima foi feito no quadro do projeto NeuroMat pela equipe liderada pela neurobióloga Cláudia D. Vargas, da UFRJ. Esse trabalho deu origem ao artigo
- O trabalho descrito acima foi feito no quadro do projeto NeuroMat pela equipe liderada pela neurobióloga Cláudia D. Vargas, da UFRJ. Esse trabalho deu origem ao artigo
FRAIMAN, D. et al. Biological
motion coding in the brain: analysis of visually driven EEG functional
networks. PLoS One.
v. 9, n. 1. jan. 2014.
Ele pode ser baixado no endereço:
http://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0084612
- O filme Conexões Dinâmicas, produzido pela revista Pesquisa FAPESP ilustra o artigo de Fraiman et al. (2014). Esse filme pode ser baixado no site
http://revistapesquisa.fapesp.br/2014/07/16/conexoes-dinamicas-2/
Foto disponível: https://pt.wikipedia.org/wiki/Antonio_Galves
- O filme Conexões Dinâmicas, produzido pela revista Pesquisa FAPESP ilustra o artigo de Fraiman et al. (2014). Esse filme pode ser baixado no site
http://revistapesquisa.fapesp.br/2014/07/16/conexoes-dinamicas-2/
Foto disponível: https://pt.wikipedia.org/wiki/Antonio_Galves
Fonte: O Globo
Um jeito diferente de ensinar e aprender.
Valdivino Sousa é Professor, Matemático, Contador, Bacharel em Direito, Pedagogo e Mestrando em Educação. Editor do blog Valor X Matemática News, e escreve sobre: Educação Matemática, Didática e TICs na Educação. E-mail: valdivinosousa.mat@gmail.com 🖼Instagram: @valdivinosousaoficial 🔯Veja Biografia